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五分钟读懂 DODO 背后的 PMM 算法：一个通用性的流动性框架及多种用例

撰文：雷达熊，DODO 创始人

一个有效的市场包含巨量信息，这些信息承载了市场对价格的判断。但是链上计算资源有限，要在链上实现一个高度灵活的市场，就好像要把大象塞进冰箱。

把大象塞冰箱这种事情并不罕见，互联网历史上已经有过几次壮举。例如图像压缩，音频压缩。

压缩的本质是提取最重要的特征，抛弃不重要的细节信息。

那么，一个市场最重要的特征是什么，是流动性。流动性可以表示为一张深度图。

从下图我们看到，深度图可以抽象为两个三角形，而描述这两个三角形，只需要中间价和斜率即可。

我们盯住右边的卖盘梯形深度，它的最大特点是，被买走的 Base Token 越多，价格越高。因此，这种线性深度可以表示为

其中 i 是第一个参数「mid price」，k 是第二个参数「slope」。

B 表示当前的 Base Token 库存，B0 表示初始 Base Token 库存，(B0-B)/B0 用来表示有百分之多少的 BaseToken 被消耗掉了。

这一公式可以使得价格随着 Base Token 被卖出的数量线性增长。

但是，线性真的是描述流动性最好的方法吗？并不是，线性描述有两个局限：

我们为价格曲线引入了非线性。在不扩充参数的前提下，使深度分布更符合市场规律，灵活度更高。

最简单的非线性解决方案，就是使用乘法而非加法。

这个公式可以满足随着 B 的减小，P 不断增大，直至无穷大。但是要怎么把斜率的影响加进去呢？

这就需要对 B0/B 这一项做改造了。B0/B≥1，我们用一个参数对其进行缩放，在保持此数值大于等于 1 的同时，可以控制它「大于 1 的程度」。

上式中，k 的取值范围是 [0,1]，决定了价格的斜率。

但是还有一个小问题，这里的 P 是边际价格，对边际价格的积分才是用户需要支付的资产数量。上式中，B0/B 这项积分后出现了对数函数，这会使后续计算变得很复杂。为了避免这一麻烦，我们再进一步：

在 B0/B 外面加一个平方项，这样积分后就变成了一个简单的除法。

令人惊叹的是，当 k=1 时，这条曲线正是 AMM 所定义的 bonding curve。这种巧合使我们相信，这是一套更加触及市场本质的算法。

同理，对于左半边的深度图，我们用对称的做法，将 base token 替换为 quote token，将乘法替换为除法：

我们将左右两边的深度图结合起来，就得到了 PMM 算法的完全版本，整理一下：

PMM 算法是对 Orderbook 市场的高度压缩，参数简单，却极度灵活。

这使得我们在冰箱如此狭小的空间内，拥有了堪比大象的能力。

下面我来列举，通过调整参数和充提规则，这套算法可以实现哪些 use case。

Use Case 1 跟随外部市场价格的主动做市

这一 use case 的应用场景是拥有巨大外部市场的主流币，例如 ETH BTC 等

PMM 可以实现主动调整盘口价格，减少 IL。获得比 AMM 更高的资金利用率，并且持有单币种就能提供流动性

设置如下：

这一 Use Case 我们称之为 DODO Classic Pool。

Use Case 2 轻资本需求的自动做市算法

这一 use case 应用于没有主观定价能力的长尾币市场，将定价权完全交给 taker

通常来讲，长尾币都是新资产，在 AMM 框架下没有足够的卖盘流动性，因而导致其流动性长期匮乏

设置如下：

这一 Use Case 我们称之为 DODO Vending Machine。

Use Case 3 完全自由的做市算法

这一 use case 为那些雄心勃勃，想要大展拳脚的做市商准备。（做市商也可以是项目方或个人）

在此 use case 下，资金池的全部资金都归做市商所有。所有参数都可以调整，做市商可以根据他的判断为资产灵活定价。同时做市商可以任意充提单一币种，而不影响市场价格。

例如：

在 ETH=700USDT 附近做市，使用很小的 k 获得非常有竞争力的流动性，并赚取大量手续费。当察觉到 ETH 有上涨预期时，撤出 ETH 库存以减少单边风险。但这一操作并不削弱买盘流动性。
新资产发行项目方只提供代币而不提供资金。在 1$ 开始销售代币。为了让更多人以合理价格买到代币，设置了较小的 k，使得代币上涨温和。随后项目方发现需要使用资金，则可以直接提出资金池中的资产，而不损害卖盘流动性，即用户仍然可以买到大量廉价代币。

设置如下：