ZKSwap团队解读零知识证明算法之Bulletproofs：Arithmetic Circuits

Bulleproofs 算法有两个方面的应用。

一个是 Range proof：

第一讲：

第二讲：

第三讲：

另一个是 general arithmetic circuits，本编文章就来主要分享 Bulletproofs 在后者上的应用。

Arithmetic Circuits

了解 ZK-SNARK 算法应该都知道算术环路的概念，下面一张图展示了 zk-snark 算法中，算术环路的设计规则（以 V 神的 x3 + x + 5 = 37为例）。

Circuit 设计规则：

1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；

2.不标记通过加法门连接乘法门的线，如图中绿线，仅起到连接作用；

3.同一条线直接或间接连接多个乘法门，仅表示为一条有效的线，为了方便理解，用紫色虚线表示其连接关系；

4.MulGate 处的取值为图中红色字体所示

5.黄色线条为有效连接线

6.橙色线条表示 MulGate 对应的一阶约束

那Bulletproofs算法的算术环路的设计规则是什么样的呢？我们看看下图（仍以 V 神的x3 + x + 5 = 37为例）。

Circuit 设计规则：

1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；

2.不标记加法门

3.不标记有常量的乘法门

4.红色字体表示乘法门的索引

5.黄色字体表示乘法门的输入和输出

6.橙色线条表示乘法门对应的一阶约束

7.蓝色线条表示相邻乘法门间的一致性约束

因此，一个完整有效的算数电路应该满足：

1.每个乘法门对应的的约束成立

2.乘法门之间的一致性约束成立

Zk-snark 的算术电路通过 R1CS 满足了上述两个条件。

1.每个 R1CS 表示一个乘法门的约束

2.相邻乘法门的输出是下一个乘法门的输入，如图中的 y,sym_1,sym_2

Bulletproofs 的算术环路以通过以下两种方式满足上述两个条件：

1.每个乘法门对应的约束成立

2.上个乘法门的输出等于下个乘法门的输入。

看起来两个算法的证明一个算术电路有效的思想是一样，但是由于两个电路的标注规则不同，就产生两个不同的约束结果。

Zk-snark 算法以 valid wires 为基本要素，每个 wire 有左输入，右输入，和输出三个属性

Bulletproofs 算法以 valid Mulgate 为基本要素，每个 Mulgate 有左输入，右输入和输出三个属性

最后，附上一张对比图：

总结 以上可以看出，对数算术环路的满足性问题，不同的算法具有不同的电路描述方式。 Zk-snark 算法由 Circuits 转化到 QAP，最终生成的证据仅仅再几十个字节大小；

Bulletproofs 的算法由 Circuits 转化到 inner productor，生成的证明的大小和算术电路的乘法门的个数 n 有关 O(log(n*Q )，电路越大，证据越大。

附录

1.Bulletproofs 论文：

2.BCG+ 讲述了算术电路的另外一种描述形式