这是一篇研究在何种情况下成为 Uniswap 上某交易对的 LP 是有利可图的状态的文章。

问题有点拗口，打个比方，你有 3 个以太坊，同时也拥有等价值的 USDT，那么是将这笔资金就这么放在钱包里面有更多的收益，还是投入到 Uniswap 上的 ETH 交易池中赚取更多的固定收益？

波动性损失是金融数学术语，描述的是大额投资损失复合回报。以下是该术语的发明者马克·斯皮茨纳热尔的解释：

激进的投资组合损失会破坏长期的复合年增长率（CAGR）。从低得多的起点恢复需要很长时间：损失 50％，你需要做到 100％才能恢复到原来的状态。在这种情况下，我称这种成本将投资组合的+ 25％的平均算术回报转化为零 CAGR （因此使投资组合的利润为零）称为「波动性损失」：这是一种隐性的，欺骗性的费用，投资者因为市场波动的负面影响而需要额外付出的成本。

Uniswap LP「被迫」致富

1 问题

10 月 14 日，Charlie Noyes 在 Twitter 上发布了一个他和 Dan Robinson 一直在辩论的问题：对于任何 Uniswap 的交易对，最佳费用是多少？这种最佳费用能否超过未重新平衡的投资组合实现「无暂时性亏损」甚至是超预期的增长？

1.1 基础规则

自动化的做市商 AMM 是一种去中心化的交易机制，可以让用户在交易像 USDC、 ETH 等的链上资产。

Uniswap 是以太坊上最受欢迎的 AMM。像大多数 AMM 一样，Uniswap 通过持有两种资产的储备来实现交易对之间的兑换。并储备量确定交易价格，使价格与大盘保持一致。

为「资金池」提供流动性的人称为「LP」，LP 为其他用户提供了流动资产以进行交易。LP 需要同时注入两种资产，承担了交易风险以换取一部分 Uniswap 的收益。

1.2 问题设定

问题在于，资金池是在资金和另一种价格会随机波动的资产之间提供流动性。更残酷的假设是，所有的交易几乎都是套利交易—只有当 AMM 的价格超出市场水平时才会发生。

换句话说，每笔交易都会导致资金池中的资金亏损。

1.3 一般情况

乍一看，这种情况会成为 Uniswap 的 LP 的代价高昂的错误。

因为做市商要求的买入价低于卖出价，所以当资产价格不动时，做市商直接获利，他们得到的买入和卖出量大致平衡。这些交易通常被称为「不知情」交易，因为它们与短期价格变动没有关联。

另一方面，做市商在价格下跌之前买入，或在上涨之前卖出，都会亏损。因此，做市商最担心的交易对手之一就是套利者，套利者只有在价格发生变化时才进行交易。套利者的每笔交易对其来说都是纯利润，对于做市商来说则纯亏损。

由于 Uniswap 中没有不知情的交易（实际上每笔交易都是套利交易），因此 LP 显然会损失惨重。

甚至可以怀疑，对于一些潜在的价格波动，作为 Uniswap 的 LP 在每一笔交易中都会被套牢。

2 解决方案

如果一项资产相对于其平均回报率的波动性足够高，那么随着时间的推移，Uniswap 上的 LP 将比 HODLer 收益更好，即使进场的只有套利交易。

这是由于一种称为「波动性收益」的现象造成的：在某些条件下，通过周期性地对两种资产进行再平衡，它们的表现有可能超过任何静态投资组合。在这种情况下，「再平衡」是指通过交易使每项资产中持有的比例返回到固定的 50/50。

因此，当他们被套利时，LP 会向市场支付一笔费用，为他们重新平衡投资组合。在这个特殊的数字设置中，这种再平衡是有益的，可以希望尽可能多地这样做。这意味着 LP 应将其费用（决定发生再平衡的价格敞口）设置为尽可能低而不为零。

这对于 Uniswap 来说是个好消息，因为这意味着即使在套利交易占主导的情况下，低费用仍然是有意义的，这使 Uniswap 在链上订单不断增加并开始提供更小的价差时保持竞争力。

也就是说，值得强调的是，这些结果适用于非常特殊的程式化数字设置，其中涉及的假设与 Black-Scholes 期权定价模型的假设非常相似。

2.1 比较标准

我们通过比较不同策略的「渐近财富增长率」来评估它们，这些「渐进财富增长率」衡量了它们在很长一段时间内增值（或贬值）的速度。

我们将所有策略与「非再平衡投资组合」进行比较，「非再平衡投资组合」一半是现金形式，一半是持有风险资产形式，并保持不变。这意味着，在最坏的情况下，当风险资产丧失其全部价值时，「非再平衡资产组合」将几乎全部由现金组成，从长远来看其增长率为零。另一方面，如果风险资产呈指数增长，它将很快在「非再平衡投资组合」中占据主导地位，因此其增长率与风险资产相同。

值得注意的是，两种资产可以共享相同的「渐近财富增长率」，但表现的差异也很大。例如，如果风险资产的增长率为零，那么享有零手续费的 Uniswap 价值将始终低于「非再平衡投资组合」，但由于预期两者都不会随着时间复合增长或亏损，两者的财富增长率都将为零。

2.2 波动阻力

波动阻力对于 50％损失 / 75％收益的作用过程

要理解这些结果，首先要理解波动阻力的概念。假设每年我们的风险资产价格要么下跌 75% 要么上涨 50%，两者发生的概率相等。

在任何特定年份，如果我们投资 $100，「期望值」是 50/2+175/2=$112.5。如果只是购买并持有，投资组合预期将每年增加 12.5％—这似乎是一笔不错的交易。

不幸的是，在现实世界中，我们的利润其实无法实现。如果我们购买并持有此组合，最终将失去一切。这是因为，随着时间的流逝，财富增加将带来巨大的损失。

如果第一年损失 50％ ，第二年增值 75％ ，第二年期末余额将只有 50％∗175％=87.5％。同样，如果第一年收益 75%，第二年亏损 50%，第二年期末余额依旧是 175％∗50％=87.5％。随着时间推移，大数定律下的内部收益率将是年化 -12.5％，将不可避免地破产。

2.3 怎么回事儿？

你可能会觉得上面的结论很奇怪甚至是错误的。

实际上，期望值是一个理论量，用于衡量我们在「同时」复制给定的「赌博」行为会发生什么情况。但其实，每次「赌博」是依次进行的，结果会随时间推移而形成。

带入数字，当我们按照「-50％/+75％」的赢率一遍又一遍地赌博，每次都将资金再投资，期望值就会大幅增长，这主要是因为只有很少几条路径都能完全正确，从而带来天文数字般的回报。但随着时间的推移，这些路径在所有可能路径中所占的比例越来越小，而我们实际看到其中一条路径实现的几率也缩小到零。

2.4 再平衡的价值

面对波动的影响，即使期望值可能是正的投资决策，也有必要保留部分资金。这样，当出现问题时，可以减少损失，从长远来看会带来复合收益。

当价格上涨时，平仓部分头寸以锁定利润，以防价格再次下跌。当价格下跌时，有时有必要低价买入获得预期的未来回报。

在某些情况下，最佳策略是不断调整投资组合，以使将固定比例的财富投资到每个头寸上，例如一半现金，一半风险资产。但这并不总是最佳的平衡，一般来说，你希望投资组合中的风险资产越多，其回报率相对于其波动性越高。

重新平衡长期财富增长的好处可能是巨大的，并且可能意味着盈利与破产之间的区别。即使每笔再平衡交易的价格都不利，并造成瞬时损失，结果也是如此。

2.5 炼金术

费用从 0% 起的资产增长率

在上面的设定中，以最小的成本更频繁的进行再平衡，将对 LP 有益。因此需要将费用设置为 >0%，以降低价格波动率就可以触发再平衡。但是当费用恰好 =0% 时，再平衡的所有好处就会消失，并且大概率，LP 要比持有非再平衡组合时的收益更差。

Uniswap 使用「常数乘积」不变，这意味着在没有费用的情况下，每笔交易必须保持储备金余额的乘积不变。本文表示为 Rα Rβ=C ，尽管已经熟悉 Uniswap 的读者可能更习惯于 x*y=k。

但是，事实证明这个 C 必须是数量增加的，才能使再平衡为我们提供财富增长。在免费的情况下， C 会保持不变，就没有财富增长的引擎。

在 Uniswap 或前文的设置中实施的非 0% 的费用，可确保 C 每笔交易都增加。C 随时间推移增加，意味着储备金余额不仅在增长，而且还在保持着平衡，从而提供了收益。

3 数学

综上所述，现在可以准确地回答 Charlie Noyes 提出的问题。重复说明一下，他们关注的是 Uniswap 一类的 AMM 的财富增长率，这种 AMM 收取 1−γ 百分比的费用，在现金和一种资产之间形成市场，而这种资产的价格以几何布朗运动的形式变动，带有参数 μ (偏移) 和 σ (波动率).。

3.1 LP 资产的增长率

3.2 最优费用与超额收益

当且仅当μ>0 和
时，成为 LP 比持有一半现金和一半代币的非再平衡投资组合有更多收益。

在这种情况下，LP 应将他们的费用设置为尽可能低的值而不是 0%，他们的资产增长率将约为 μ/2 - σ²/8。

3.3 解释

由于「几何布朗运动」模拟复合增长，因此它们也会受到波动阻力的影响，在数学上可以将 GBM 的资产增长率表示为 -σ²/2：

G=μ-σ²/2

这意味着在范围
内，Uniswap 上的 LP 对应于资产增长率为 -μ

这个结果显示，再平衡能够抵消部分基础资产波动性的影响。

另一方面，如果没有波动性影响的平均收益为正：

• 如果波动性带来的损失超过其平均回报的 200%，Uniswap 的再平衡将不能消除足够的波动性影响，这种情况最好还是持有现金。

• 如果波动性带来的损失低于其平均回报的 66％，那么通过 Uniswap 进行再平衡来抵消波动性影响的代价将是不值得的，此时最好只是持有资产。

• 在此范围内，成为 Uniswap 的 LP 可以创造收益。